Il y a deux manières principales de le démontrer, celle de Joun (il ne manque pas grand'chose) que je ne vais pas corriger (pour le moment en tout cas) qui est moins joli que la preuve que je vais donner, mais qui a l'avantage de ne pas faire appel à l'algèbre linéaire.

Étonnamment, la méthode la plus courte, semble la plus lourde puisque l'on va commencer par écrire toutes les équations, ou pour être plus précis, la forme des équations.

Si l'on y réfléchit, on se rend compte que l'on a un système de n équations (1 équation par pipe enlevée) à n inconnues (les poids des pipes) et que ces équations sont linéaires. Rien de surprenant alors de se diriger vers un système matriciel.

Écriture du système matriciel

On numérote les pipes, et on considère le vecteur des poids.

Vecteur des poids

Toutes les équations seront du type :

Forme générale des équations

La première équation (le capitaine garde la première pipe sur lui) est de la forme :

Première équation

La ième est la nième sont alors de la forme :

ième et nième équations

Tout cela s'écrit sous une jolie forme matricielle AP=0 :

Équation matricielle

ou chaque ligne de la matrice contient autant de -1 que de 1.

Interprétation

Le vecteur poids appartient au noyau de la matrice A. La question est donc de savoir quelle est la dimension de ce noyau. Pour prouver que toutes les pipes doivent avoir le même poids, il faut montrer que cette dimension est 1.

Les plus fous feront le calcul direct, les plus sages utiliseront des sentiers détournés.

Calcul sioux du rang

En fait, nous savons déjà que le rang de la matrice est inférieur ou égal à n-1 puisque nous connaissons une solution triviale. Il suffit donc de montrer que le rang est supérieur ou égal à n-1.

Rappelons un théorème utile à propos du rang :

rang(A+B) ≤ rang(A) + rang(B)

Nous allons donc chercher une matrice B de rang 1 telle telle que rang(A+B) = n. Choisissons la matrice de rang 1 la plus simple possible[1] :

Matrice pleine de 1

Il nous reste donc à montrer la matrice M suivante est de rang n

Matrice M

En d'autres termes, nous voulons montrer qu'elle est inversible, c'est à dire que son déterminant est non nul.

Rappelons aussi un élément de calcul modulaire :

Le déterminant modulo 2 d'une matrice est égal au déterminant modulo 2 de la matrice des coefficients modulo 2.

En particulier, si le déterminant modulo 2 d'une matrice modulo 2 est impair, alors celui de la matrice initiale l'est aussi, elle est donc inversible.

Que devient la matrice M si l'on prend tous ces coefficients modulo 2 ? Elle devient l'identité. Son déterminant est 1, il est impair, donc M est inversible, c'est bien ce que nous voulions montrer pour conclure la démonstration, enfin !

Une remarque

Où avons-nous utilisé le fait que les deux groupes avaient le même nombre de pipes ? Uniquement pour dire qu'il existait une solution, or nous savions déjà qu'il en existait une puisque le capitaine était arrivé à ranger ses pipes. Lors du raisonnement sur le rang nous n'utilisons pas cette hypothèse pour montrer que le rang de A est supérieur ou égal à n-1. Il n'existe donc qu'une seule relation entre les poids des pipes, le nombre de pipe par groupe permet uniquement de dire que cette relation est l'égalité des poids. Peut-on se passer de cette hypothèse ? Non, par exemple si le vecteur des poids est (1,1,1,3,3), nous pouvons résoudre le problème.

« énigme n°1 | énigme n°2 | énigme n°3 »

Notes

[1] question de point de vue